| λ' = λ ± vT | ||
| λ' = cT ± vT | car λ = cT | |
| c / f ' = cT ± vT | car | |
| c / f ' = T ( c ± v ) | ||
| c / f ' = ( c ± v ) / f | car | |
| f ' ( c ± v ) = f c | ||
| f ' = f c / ( c ± v ) | ||
| f ' = f / ( 1 ± v / c ) |
| λ' = λ ± vT' | |
| c / f ' = c / f ± v / f ' | car |
| ( c ± v ) / f ' = c / f | |
| f ( c ± v ) = f ' c | |
| f ' = f ( c ± v ) / c | |
| f ' = f ( 1 ± v / c ) |
| f ' = f / ( 1 + v / c ) | |
| T' = T ( 1 + v / c ) | car |
| T' = T ( 1 + v / c ) / ( 1 - ( v / c ) 2 ) ½ | en introduisant le facteur
|
| λ' / c = λ ( 1 + v / c ) / c ( 1 - ( v / c ) 2 ) ½ | car |
| λ' = λ ( 1 + v / c ) / ( 1 - ( v / c ) 2 ) ½ | |
| λ' = λ ( 1 + v / c ) / ( ( 1 + v / c ) ( 1 - v / c ) ) ½ | |
| λ' = λ ( 1 + v / c ) / ( 1 + v / c ) ½ ( 1 - v / c ) ½ | |
| λ' = λ
( 1 + v / c ) ( 1 + v / c ) ½ /
( 1 + v / c ) ½( 1 - v / c ) ½ ( 1 + v / c ) ½ | |
| λ' = λ ( 1 + v / c )
( 1 + v / c ) ½ /
( 1 + v / c ) ( 1 - v / c ) ½ | |
| λ' = λ ( 1 + v / c ) ½ / ( 1 - v / c ) ½ | |
| λ' = λ ( ( 1 + v / c ) / ( 1 - v / c ) ) ½ |
fobs = f ( 1 ± v / c )
L'obstacle réfléchi donc les ondes à la fréquence fobs. Cependant, l'obstacle étant lui-même en mouvement, on doit en plus appliquer à fobs la formule pour une source en mouvement, ce qui donne :
f ' = fobs / ( 1 ± (-v) / c )
D'où finalement :
f ' = f ( 1 ± v / c ) / ( 1 ± (-v) / c )
Ceci est une formule exacte, valable dans tous les cas. Mais la plupart du temps, la vitesse v de l'obstacle est très petite devant la vitesse c de propagation des ondes : on peut alors obtenir une bonne approximation de cette formule en la linéarisant par un déloppement limité à l'ordre 1 en v / c. On obtient finalement :
f ' = f ( 1 ± 2 v / c )
On en déduit alors la vitesse de l'obstacle v :
| f ' = f ( 1 ± 2 v / c ) | |
| f ' = f ± 2 vf / c | |
| f ' - f = ± 2 vf / c | |
| v = ± c ( f ' - f ) / ( 2 f ) | |
| v = ± c ( f ' / f - 1 ) / 2 |
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